Trigonometrijos formules

Main Menu

Written by Administrator

Tuesday, 17 May 2011 20:07

Trigonometrinės formules

Trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Trigonometrines funkcijas galima apibrėžti taip (žymėjimai naudojami pagal dešinėje esantį trikampį):

Sinusas yra kraštinės esančios prieš kampą ir įžambinės santykis:

$\sin {A} = \frac{a}{c} \;$ $; \ sin {B} = \frac{b}{c} \;$

Kosinusas yra kraštinės esančios šalia kampo ir įžambinės santykis:

$\cos {A} = \frac{b}{c} \;$ $; \ cos {B} = \frac{a}{c} \;$

Tangentas yra statinio esančio priešais kampą santykis su statiniu esančiu prie kampo:

$tg {A} = \frac{a}{b} \;$ $; \ tg {B} = \frac{b}{a} \;$

Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule cos B = a/c, nes iš jos išplaukia, kad c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm.

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

$\alpha = \arcsin\frac{b}{c}$

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

$\beta = \arcsin\frac{a}{c}$

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

$\alpha = \arccos\frac{a}{c}$

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

$\alpha = \arctan\frac{b}{a} ; \ \beta = \arctan\frac{a}{b}$

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin⁻¹, cos⁻¹ ir tan⁻¹. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin⁻¹ (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α).

Kosinusų teorema

Kosinusų teorema dažniausiai naudojama rasti bet kokio trikampio kraštinėms ir (arba) kampus žinant dvi kraštines ir kampą tarp jų arba visas tris kraštines:

$a^2\ = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\alpha)$

$b^2\ = a^2 + c^2 - 2ac\cos(\beta)$

$c^2\ = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma)$

a, b ir c – kraštinių ilgiai, α – kampas tarp kraštinių b ir c, β – kampas tarp kraštinių a ir c, γ – kampas tarp kraštinių a ir b.

Jei trikampis statusis, tai vienanaris

$2ab \cos (\alpha) \;$

virsta nuliu, nes 90 laipsnių kosinusas lygus nuliui. Tuomet kosinusų teorema tampa Pitagoro teorema. Dėl to ji kartais vadinama apibendrintąja Pitagoro teorema.

Jei yra žinomi visų trijų trikampio kraštinių ilgiai, kampai gali būti apskaičiuoti pagal formules:

$\alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)$

$\beta=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$

$\gamma=\arccos\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$

Šios formulės yra nesunkiai išvedamos iš kosinusų teoremos.

Sinusų teorema

Pagal sinusų teoremą galima rasti trikampio kraštines ir kampus žinant du kampus ir bent vieną kraštinę:

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$

a, b ir c – kraštinių ilgiai,α, β ir γ – prieš jas esančių kampų dydžiai, o r- spindulys apibrėžtinio apskritimo

Last Updated on Tuesday, 17 May 2011 20:41